UNIVERSIDAD NACIONAL DE QUILMES

CARRERA DE COMPOSICION CON MEDIOS ELECTROACUSTICOS

COMPUTACION APLICADA A LA MUSICA II

Prof. Oscar Pablo Di Liscia

SINTESIS DE SONIDO POR FM

Esta técnica se basa en el control periódico de la desviación de frecuencia de una o varias señales (portadoras, carrier), por medio de otra/s (moduladoras). Fué desarrollada por el músico e ingeniero americano John Chowning a partir de 1973. Se suele incluir dentro de las técnicas de síntesis no-lineales, dado que, como se verá, genera componentes de frecuencia que no se encontraban en las señales originales.

La modulación periódica de frecuencia de una señal sinusoidal por otra en frecuencia de control (hasta aprox. 15 Hz) produce el efecto que se conoce musicalmente como vibrato. La ecuación para describir el proceso de FM en términos de audio digital es la siguiente:

sin(2PI * fc * n * T + (I * sin(2PI * fm * n * T)) (eq. 1.1)

en donde:

fc = frecuencia de la portadora

fm= frecuencia de la moduladora

n= numero de muestra digital

T= intervalo de muestreo=1/SR

I= índice de modulación, igual a Df / fm

Df = desviación en frecuencia de la portadora.

En el caso del vibrato, se suele pensar, a los efectos prácticos, en el control de 3 parámetros:

1)La "velocidad" de la modulación (fm, frecuencia de la moduladora)

2)La "silueta" de la modulación (forma de onda de la moduladora)

3)La "profundidad" de la modulación (Df, desviación en frecuencia de la portadora hacia arriba y hacia abajo)

Siendo este el caso, y al saber que I=Df / fm, podemos reemplazar el valor de I en la ecuación 1.1 por otro en el que calculemos la desviación de frecuencia, por ejemplo, si queremos que se desvíe 50 Hz hacia arriba y abajo y a una frecuencia de 5 Hz, el valor de I será 50/5=10. Este procedimiento, sin embargo, es poco práctico, dado que el manejo de Df en términos independientes de la frecuencia portadora puede producir resultados perceptivos diferentes en distintas frecuencias portadoras. Dicho de otra manera, 50Hz de desviación para 440Hz de portadora son mucho más que 50Hz de desviación para 5000Hz de portadora, dado que nuestra percepción de la altura no es lineal. Si queremos calcular Df en Hz, proporcionando el resultado en semitonos respecto de la frecuencia de la portadora, tendremos:

Df = (fc * 2(s/12))-fc (eq. 1.2)

en donde:

s= la desviación de la portadora en semitonos ("profundidad del vibrato")

Para calcular I:

I = ((fc * 2(s/12))-fc) / fm (eq. 1.3)

Reemplazando I por la ecuación (1.3) en la ecuación (1.1):

sin(2PI * fc * n * T + (((fc * 2(s/12))-fc) / fm * sin(2PI * fm * n * T))

Obtenemos una ecuación que nos permite controlar la profundidad del vibrato en semitonos (s), la frecuencia de la portadora (fc) y la velocidad del vibrato (fm)

Los procedimientos descriptos se pueden llevar a cabo por software o por hardware. En ambos casos, es útil tipificar las diferentes posibilidades de conexión de las unidades usadas (osciladores digitales) mediante lo que se denomina diagrama de bloque. Se usa por convención el semicírculo elongado para representar a un oscilador. La figura 1 muestra y explica los diferentes casos de conexión (por razones de simplicidad, se han omitido las entradas típicas de amplitud y tabla de forma de onda de los osciladores). Los tres casos característicos son los primeros (par de fm simple, fm en serie y fm en paralelo). Los otros dos son perfectamente explicables como variaciones de la fm simple.

Cuando la frecuencia de la moduladora está en rango de audio, Chowning observó que la modulación ya no se percibe como vibrato y que lo que realmente ocurre es que la energía de la portadora es redistribuída en una serie (infinita) de componentes a ambos lados de esta. Estos componentes aparecen a las frecuencias expresadas por:

fc + - k fm (eq. 2.1)

en donde k es un índice entero que varía desde 0 hasta infinito. Esto implica que la técnica de FM produce -por definición- "aliasing". Sin embargo, cuanto más pequeño es I (el índice de modulación), la energía se distribuye concentrándose en las bandas laterales que están más cerca de la portadora, causando que las bandas más alejadas tengan una amplitud irrelevante. En la práctica se considera que el número de pares de bandas laterales con amplitud significatica es igual a I+2 (para I distinto de cero).

NBL = I + 2 (eq. 2.2)

La amplitud de cada una de las bandas laterales se calcula en base a Jk(I), que es una función de Bessel de primera clase, orden k, evaluada en (I). (La mayoría de la bibliografía sobre el tema presenta tablas de dicha función, o su ecuación para calcularla con la precisión deseada). Esto significa que, siendo I el índice de modulación, podemos calcular una aproximación al espectro resultante de un par de FM simple de la siguiente manera:

1)Los datos son los siguientes:

fc = 400 Hz

fm = 800 Hz

I = 2

2)El número de pares de bandas laterales a calcular es I+2= 4 (eq.2.2)

3)Las frecuencias de los pares de bandas laterales se calculan de acuerdo con la ecuación (2.1)

k=0 400+ (0*800) 400 (portadora)

400- (0*800) 400

k=1 400+ (1*800) 1200 (primer par)

400- (1*800) -400

k=2 400+ (2*800) 2000 (segundo par)

400- (2*800) -1200

k=3 400+ (3*800) 2800 (tercer par)

400- (3*800) -2000

k=4 400+ (4*800) 3600 (cuarto par)

400- (4*800) -2800

4)Las amplitudes de los componentes de cada par de frecuencias de orden k se calculan en base a la función de Bessel de orden k evaluada en I.

5)Se cambia el signo de las amplitudes correspondientes a los pares de bandas laterales de orden impar. (Ver Moore, op. cit., pp. 319 para una explicación de las causas de esto)

6)Se transforman en positivas todas las frecuencias negativas cambiándo el signo de sus amplitudes. En el caso en que coincidieran con otros componentes, se realiza una suma de sus amplitudes.

En el caso de FM simple, se pueden obtener una serie de conclusiones prácticas sobre la cualidad del espectro resultante:

1)Mayor I produce más parciales, pero no afecta a la amplitud de la portadora (sólo hay una redistribución de energía)

2)El grado de armonicidad, H=fm/fc,(la razón entre la moduladora y la portadora) determina una mayor cercanía del espectro hacia la característica armónica o inarmónica. Relaciones más simples determinan espectros armónicos.

3)Algunas relaciones entre portadora y moduladora producen espectros armónicos en los que faltan algunos componentes (e.g. 1/2 produce un espectro armónico sin parciales pares).

4)Para igual índice de modulación, cuanto menor es fm mayor es la densidad de banda y menor el ancho de banda del espectro resultante.

5)El ancho de banda (BW) del espectro se puede estimar de la siguiente manera:

si hay bandas negativas:

BW » fc+fm*(I+2)

si no hay bandas negativas:

BW » 2fm*(I+2)

La técnica de FM es muy práctica dado que, con sólo dos señales sinusoidales se pueden lograr una gran variedad de señales con espectros muy diferentes. Habitualmente se usan generadores de envolvente diferentes para la portadora y la moduladora. El de la portadora no afecta el espectro, sólo a la envolvente general. El de la moduladora no afecta a la amplitud general, sino al espectro. De esta manera se pueden lograr comportamientos en el espectro similares a los instrumentos acústicos (e.g., mayor ancho de banda en el ataque, etc.). Además de ello, el cambio del índice de modulación en el tiempo no produce una variación lineal de las amplitudes de los componentes que resultan (sino en base a la función de Bessel mencionada) y esto contribuye a darle un mayor dinamismo al espectro.

Finalmente se mencionarán dos posibilidades más de conexión por FM, que se suelen denominar FM compleja (Ver gráfico 1).

1)Modulación en paralelo: si tomamos el caso en el que dos moduladoras, fm1 y fm2 modulan a una portadora fc. Se produce lo siguiente:

ecuación:

sin(2PI * fc * n * T + (I1*sin(2PI * fm1 * n * T)+ (I2*sin(2PI * fm2 * n * T)) (eq. 3.1)

a-Las primeras bandas laterales se calculan de acuerdo con la FM simple, ecuación (2.1), esto es:

fc + - fm1*k1

fc + - fm2*k2

b-Surgen bandas laterales llamadas de combinación, a frecuencias de:

fc + fm1*k1 + fm2*k2

fc - fm1*k1 + fm2*k2

fc + fm1*k1 - fm2*k2

fc - fm1*k1 - fm2*k2

c-Las amplitudes de las bandas laterales se calculan tomando la función de Bessel, pero evaluándola a partir de la multiplicación de los respectivos índices de modulación.

2)Modulación en serie (cascada): si tomamos el caso en el que una moduladora, fm1, modula a otra,fm2, y esta, a su vez, modula a una portadora fc. Se produce lo siguiente:

ecuación:

sin(2PI * fc * n * T + (I1*sin(2PI * fm1 * n * T+ (I2*sin(2PI * fm2 * n * T)))

(eq.3.2)

a-Las primeras bandas laterales se calculan de acuerdo con la FM simple, ecuación (2.1). Sin embargo sólo se producen bandas laterales a +- fm1

b-El orden de la primera moduladora, k1, se usa para escalar el índice I2 de la segunda moduladora.

En estos dos casos resulta obvio que el número de parciales aumenta de manera significativa, aún para el caso de Indices de modulación pequeños. El espectro se hace menos previsible, sobre todo en el caso en que las envolventes de los osciladores sean diferentes. Múltiples combinaciones de conexiones en paralelo y serie son posibles también. Para ello el hardware o software pone a disposición del usuario una serie de combinaciones de osciladores que se denominan algoritmos. El estudio detallado de las numerosas posibilidades y refinamientos de esta técnica debe referirse a la bibliografía citada y requiere un muy alto grado de práctica específica.

 

Bibliografía

Título: Elements of Computer Music (pp 315-332)

Autor: F. R. Moore

Edición: Prentice Hall., New Jersey, 1990

Título: FM theory and applications

Autor: J. Chowning y D. Bristow

Edición: Yamaha Music Foundation, Japon (pero está en inglés...),1986

Título: The Synthesis of Complex Audio Spectra by means of frecuency modulation (pp.526-534)

Autor: J. Chowning

Edición: JAES N.7, USA, 1973